.RU

1. Дифференциалдық теңдеуге келтірілетін есептер

Дата15.04.2017өлшемі203.36 Kb.
VII тарау

Дифференциалдық теңдеулер.


  • 27 Дифференциалдық теңдеу ұғымы.
1. Дифференциалдық теңдеуге келтірілетін есептер


Анықтама. Құрамында тәуелсіз айнымалы х, ізделінді функциясы және оның туындылары болатын теңдеу дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Есеп. ХОУ жазықтығында О (0;0) нүктесі арқылы өтіп, кез келген нүктесі арқылы жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті сол нүктенің екі еселенген абциссасына тең болатын қисықтың теңдеуін табу керек.

Шешуі: Ізделінді функция болсын. Есептің шарты бойынша нүктесі арқылы жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті k=2х болады. Ал, туындының геометриялық мағынасынан екені белгілі. Сонда немесе



(1)

болады.


Бұл (1) теңдеу дифференциалдық теңдеу, өйткені оның құрамында ізделінді функцияның туындысы бар. Оны түрінде жазамыз. Бұдан ізделінді функция 2х-тің алғашқы функциясы болады.

, (2)

(2) теңдеуден (1) дифференциалдық теңдеудің шексіз көп шешімі бар екенін көреміз, яғни (1) теңдеуді шексіз көп қисық – парабола қанағаттандырады (1-сызба).

Осы қисықтардың ішінен өзімізге қажеттісін таңдап алу үшін есептің шартындағы ізделінді қисық О (0;0) нүктесі арқылы өтеді деген шартты пайдаланамыз. Осы нүктенің координаталары (2) теңдеуді қанағаттандыруы тиіс. Сонда 0 = 0 + c, яғни с = 0 болады. Сонымен, ізделінді қисықтың теңдеуі .

Егер ізділінді функция бір айнымалының функциясы болса, онда оны қарапайым дифференциалдық теңдеу деп атайды.

Оның жалпы түрі

(3)

болады.


Дифференциалдық теңдеуге енетін функцияның туындысының ең жоғарғы реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады.

n-ші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі мынандай:



(4)

Дербес жағдайда теңдеудің құрамына х,у және n-нен төменгі туындылар кірмеуі мүмкін. Мысалы, .

(4) теңдікті қанағаттандыратын функциясы дифференциалдық теңдеудің шешімі деп аталады.

Мысалдар.



  1. функциясы теңдеуінің шешімі болатынын көрсету керек.

Шешуі: -ті табайық:

.

мәндерін берілген теңдеуге қоямыз. Сонда , бұдан шықты. Демек, функциясы берілген дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырды, яғни оның шешімі болады.



  1. функциясы дифференциалдық теңдеуінің шешімі болатынын көрсету керек.

Шешуі:
2. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу, оның жалпы шешімі және алғашқы шарттары.
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі

немесе (5)

болады.


Дифференциалдық теңдеуді шешкенде оның шешіміне С тұрақтысы енеді. Мұндай шешімдер дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп аталады. Ол түрінде болады.

Берілген дифференциалдық теңдеуді шешу немесе интегралдау – оның жалпы шешімін табу болады. Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімінен С – тұрақтысының белгілі бір мәніндегі шешімін дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі деп аталады.

болғандықтан у функциясы у0 мәнін қабылдаса, бұл шартты дифференциалдық теңдеудің алғашқы шарты деп аталады. Алғашқы шарт арқылы дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімінен дербес шешімін табуға болады. Шынында да, теңдеуінен С-ның белгілі бір С=С0 мәнін тауып, жалпы шешімге қойсақ, дербес шешім болады.
3. Айнымалыларын бөлектеуге болатын дифференциалдық теңдеу.
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді мына түрде жазайық:

немесе .

Бұл теңдеуді жалпы түрде мынандай формада қарастыруға болады:



(6)

Мұндағы х, у айнымалыларының біреуін екіншісінің функциясы деп есептеуге болады.

және функциялары мынандай функциялардың көбейтіндісі болсын:



.

Бұл көбейткіштердің әрқайсысы бір ғана айнымалыға тәуелді. Сонда (6) теңдеу



(7)

түрінде жазылады. (7) теңдіктің екі жағын да көбейтіндісіне мүшелеп бөлеміз (бұл көбейтіндіні нольге тең емес деп ұйғарамыз). Сонда



(8)

(8) теңдеудегі dx-тің алдындағы көбейткіш тек қана x айнымалысының, ал dy-тің алдындағы көбейткіш тек қана у айнымалысының функциясы. Сондықтан (8) теңдеу айнымалылары бөлектенген, ал (7) теңдеу айнымалылары бөлектенетін дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Бұл теңдеудің жалпы шешімі мына түрде табылады:

(9)

Мысалдар.



  1. теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі: Берілген теңдеу айнымалылары бөлектенетін теңдеу. деп ұйғарып, теңдіктің екі жағын да у-ке бөліп, dx-ке көбейтейік. Сонда - айнымалылары бөлектенген теңдеу алынады. (9) формула бойынша теңдеудің екі жағын да интегралдасақ, . Бұдан

, , яғни .


  1. теңдеуін интегралдау керек.

Шешуі: Дифференциалдық теңдеуді интегралдау – оның шешімін табу деген сөз.

Теңдеудің екі жағын да -ке көбейтіп, айнымалылары бөлектенген теңдеу аламыз:



немесе .

Осы теңдеуді интегралдау арқылы берілген теңдеудің жалпы шешімін табамыз:



,

.

Бұдан


.

  1. теңдеуін шешу керек.

Шешуі: Бұл айнымалылары бөлектенетін теңдеу. Теңдеуді -қа бөліп ( деп есептейміз), мына теңдеуді аламыз;

Бұдан


;

немесе .

Бұл теңдеуді потенцирлеп, берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін аламыз.

, мұндағы .
4. Бірінші ретті біртектес дифференциалдық теңдеу.
Анықтама. Егер теңдігі орындалса, онда функциясы m өлшемді біртектес функция деп атайды.

Мысал.


  1. функциясы үш өлшемді біртектес функция. Себебі, х және у аргументтерін t-ға көбейтсек,



  1. - ноль өлшемді біртектес функция екенін көрсетейік.

Егер (1)

теңдеуіндегі және функциялары бірдей өлшемді біртектес функция болса, олда бұл теңдеу сол өлшемді біртектес дифференциалдық теңдеу деп аталады.

(1) теңдеуге ауыстыруын қолданып, оны айнымалылары бөлектенетін теңдеуге оңай келтіруге болатынын көрсетуге болады. Мұндағы u функциясы х-ке тәуелді ізделінді функция. Сонда бұл ауыстырудан , ал болады.

Кейбір есептерде аустыруын жасау қолайлы болады.

Мысалдар.



  1. теңдеуін шешу керек.

Шешуі. ауыстыруын жасайық.

Сонда , . Бұдан берілген теңдеу



түріне келеді. Ұқсас мүшелерін біріктірсек,



болады. Бұл айнымалылары бөлектенетін теңдеу. Теңдеудің екі жағын да -ге бөлсек, теңдеуін аламыз. Бұдан



,

.

потенцирлесек, болады. Енді ауыстыруын u-дың орына қойсақ, немесе болады.

2. теңдеуін шешу керек.

Шешуі: болсын, бұдан , . Бұл өрнектерді берілген теңдеуге қойсақ,



;

.

деп ұйғарып, теңдеуді -ке бөлсек,



,

,

немесе болғандықтан, .

Бұл берілген теңдеудің жалпы шешімі. Оны мына түрде де жазуға болады: ; ;

, бұдан , .


5. Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу.
Анықтама. Егер теңдеу ізделінді функция мен оның туындысына қатысты бірінші дәрежелі болса, онда оны бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп атайды.

Анықтама бойынша бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу мына түрде болады:



(1)

мұндағы , .

(1) теңдеуді шешу үшін ауыстыруын қолданамыз, мұндағы , . Сонда, болады.

Бұдан ; ;



(2)

Еркімізше алынған v функциясы шартын қанағаттандырсын. Осы теңдеудің айнымалыларын бөлектеп шешсек,



, , бұдан (3)

Сонда (2) теңдеуге (3) өрнекті қойсақ,



; ; ;

бұдан (4)



болғандықтан (3) және (4) теңдіктердің пайдалансақ,

(5)

түрдегі жалпы шешімін аламыз.

Егер (1) теңдеудегі болса, онда оны бірінші ретті біртектес сызықтық дифференциалдық теңдеу деп атайды.

Мысалдар.



  1. теңдеуін шешу керек.

Шешуі: Мұндағы , . Сонда (5) формуланы қолдансақ,



  1. теңдеуін шешу керек.

Шешуі: , .

ауыстыуын жасап, теңдеуін шешсек,



, яғни

бұдан , , , , бұдан болады.

Сонда берілген теңдеу , яғни болады. Бұдан екенін ескерсек, , немесе ; ; .

болғандықтан, ізделінді функция немесе



.


  1. теңдеуін шешу керек.

Шешуі: , .

ауыстыруын қолданып, және теңдеулерінен u, v мәндерін табамыз.

Бірінші теңдеуді шешейік.

,

бұдан , , .

v-ның табылған мәнін екінші теңдеуге қойсақ,

.

Бұдан ; ; ; ;



ауыстыруын жасасақ, .

Сонда . Сонымен .



, яғни теңдеудің жалпы шешімі

болды.


  • 28 Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер.


1. Бірінші ретті теңдеуге келтірілетін екінші ретті дифференциалдық теңдеулер.
1 түріндегі екінші ретті дифференциалдық теңдеуді шешу үшін оның ретін төмендетіп, былайша шешеміз:

болсын , сонда болады да түріндегі бірінші ретті дифференциалдық теңдеу аламыз. Бұдан . Бұл теңдеудің екі жағын да интегралдасақ, болады. деген белгілеуге көшсек, түріндегі бірінші ретті дифференциалдық теңдеу аламыз. Бұдан . ;

берілген теңдеудің жалпы шешімі болады.

Мысал.

теңдеуін шешу керек.



Шешуі. деп белгілейік, сонда болады да, , бұдан ; ; ; , немесе .

Осы теңдеуді интегралдасақ,





; болады.
2 теңдеуін шешу керек.

Шешуі. түріндегі белгілеуін енгіземіз. Сонда



болады

Сонымен түріндегі айнымалылары бөлектенетін дифференциалдық теңдеу алдық. Бұдан, .

Осы теңдеуді интегралдап z-ті тапқаннан кейін, оны -пен ауыстырып, х пен у-ке қатысты айнымалыны бөлектеуге болатын теңдеу аламыз.
2. Тұрақты коэффициентті сызықтық біртектес екінші ретті дифференциалдық теңдеулер.
1 Анықтама бойынша екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі мынандай болады:

(1)

Егер және - тұрақты, ал болса, онда екінші ретті сызықтық теңдеу тұрақты коэффициентті бертектес теңдеу деп аталады.

Сонымен тұрақты коэффициентті сызықтық біртектес екінші ретті дифференциалдық теңдеу

(2)

түрінде болады.

2 у1 және у2 функциялары (2) теңдеудің шешімдері болсын.

Анықтама. Егер кесіндісінен алынған кез келген х үшін теңдігі орындалатындай саны табылса, онда у1 және у2 шешімдері кесіндісінде сызықты тәуелді деп , ал егер осындай саны табылмаса, онда у1 және у2 шешімдері сызықты тәуелсіз деп аталады, яғни қатынасы кесіндісінде тұрақты болмайды.



Теорема 1. (2) теңдеудің у1 шешімін С тұрақты санына көбейтсек, ол да осы теңдеудің шешімі болады.

Дәлелдеу. -ді (2) теңдеуге қояйық. , бұдан



,

себебі у1 берілген теңдеудің шешімі болғандықтан болады. Бұдан -дің (2) теңдеудің шешімі болатындығын көрдік.



Теорема 2. (2) теңдеудің у1 және у2 шешімдерінің қосындысы да (2) теңдеудің шешімі болады.

Дәлелдеу. қосындысын (2) теңдеуге қояйық:



Демек берілген (2) теңдеудің шешімі болды.



Теорема 3. Егер у1 және у2 функциялары (2) теңдеудің сызықтық тәуелсіз шешімдері, ал С1 мен С2 – кез келген тұрақты сандар болса, онда

функциясы да (2) теңдеудің шешімі болады.

Бұл теоремадан сызықтық біртектес екінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін оның кез келген екі сызықтық тәуелсіз дербес шешімі арқылы табуға болатынын көреміз.

ауыстыруын жасау арқылы теңдеудің екі дербес шешімін табуға болады. Бұл жағдайда (2) теңдеу мына түрде болады:



, , болғандықтан немесе .

болғандықтан



(3)

болады.


(3) теңдеу сызықтық біртектес теңдеудің характеристикалық (сипаттамалық) теңдеуі деп аталады.

Мынандай жағдайлар болуы мүмкін:



  1. (3) теңдеудің түбірлері k1 және k2 әртүрлі нақты сандар: . Сонда , функциялары (2) теңдеудің сызықтық тәуелсіз шешімдері болады да, оның жалпы шешімі

(4)

түрде болады.



  1. (3) теңдеудің түбірлері өз ара тең нақты сандар: . Бұл жағдайда бір дербес шешімді ал екіншісін түрінде аламыз. у1 және у2 шешімдері сызықты тәуелсіз, себебі . Сондықтан 3-теорема бойынша (2) теңдеудің жалпы шешімі

немесе (5)

түрінде болады.



  1. (3) теңдеудің түбірлері комплекс сандар болсын: , . Бұл жағдайда (2) теңдеудің жалпы шешімі

(6)

  1. (3) теңдеудің түбірлері таза жорымал сан болсын: , . Бұл жағдай егер , болғанда ғана орындалады. Сонда (2) теңдеудің жалпы шешімі

(7)

түрінде болады.

Мысалдар.


  1. теңдеуді шешу керек.

Шешуі. Берілген теңдеудің характеристикалық теңдеуі

Оның түбірлері , , яғни әртүрлі нақты сандар. Сонда берілген теңдеудің жалпы шешімі (4) формула бойынша



болады.


  1. теңдеуін шешу керек.

Шешуі: Берілген теңдеудің характеристикалық теңдеуі

немесе , бұдан , яғни характеристикалық теңдеудің түбірлері өзара тең нақты сандар. Сонда берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі:



.

  1. .

Шешуі: Теңдеудің характеристикалық теңдеуі

,

ал оның түбірлері , , яғни түбірлері , болатын комплекс сандар. Сонда жалпы шешім:



.
Бақылау сұрақтары

  1. Қандай теңдеу дифференциалдық теңдеу деп аталады?

  2. Қандай функция дифференциалдық теңдеудің шешімі деп аталады? Берілген дифференциалдық теңдеудің шешімін табу операциясы қалай аталады?

  3. Дифференциалдық теңдеудің реті деген не?

  4. Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі қандай?

  5. = f(х,у) теңдеуінің дербес шешімі деген не? Ол жалпы шешіммен қалай байланысады?

  6. = f(х) теңдеуінің жалпы шешімі қалай аталады?

  7. = f(у) теңдеуі қалай интегралданады? Жалпы шешімі қалай табылады?

  8. Айнымалаларын бөлектеуге болатын дифференциалдық теңдеу қалай интегралданады?

  9. Қандай теңдеу біртектес дифференциалдық теңдеу деп аталады?

  10. Қандай ауыстыру жасау арқылы біртектес теңдеу айнымалыларын бөлектеуге болатын теңдеуге келтіріледі?

  11. Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі қандай?

  12. Біртектес теңдеу мен біртектес емес теңдеулердің айырмашылығы неде?

  13. +р(х)·у=0 түріндегі бірінші ретті біртектес сызықтық теңдеу қалай интегралданады?

  14. Біртектес емес теңдеудің бір дербес шешімі белгілі болғанда қандай ауыстыруды пайдаланып оны біртектес теңдеуге келтіруге болады?

  15. түріндегі теңдеуді қалай шешеді?

  16. теңдеуін шешу үшін қандай ауыстыру жүргізу керек?

  17. Тұрақты коэфицентті сызықтық біртектес екінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі қандай?

  18. у1, у2 дербес шешімдерінің сызықты тәуелділігі қалай анықталады?

  19. Сызықтық біртектес теңдеудің характеристикалық теңдеуі қалай құрылады?

  20. Характеристикалық теңдеудің түбірлері әр түрлі нақты сандар болса, оның жалпы шешімі қалай анықталады?

  21. Характеристикалық теңдеудің түбірлері еселі нақты сандар болса, оның жалпы шешімі қалай табылады?

  22. Характеристикалық теңдеудің түбірлері комплекс сан болса, оның жалпы шешімі қалай анықталады?


Жаттыѓулар.

Тењдеулерді шеш:



5. 6.

Біртекті дифференциалдыќ тењдеуді шеш:

11.

Сызыќты дифференциалдыќ тењдеуді шеш:



15. 16. 17.

18. 19. 20.
Берілген шарттарды ќанаѓаттандыратын дербес шешулерді тап:

24. 25. 26.

27. 28. 29.

30.







Достарыңызбен бөлісу:

311-vodnoe-hozyajstvo-otchyot-ob-ispolnenii-programmi-socialno-ekonomicheskogo-razvitiya-udmurtskoj-respubliki-na-20052009-godi.html
31122010novogodnie-prazdniki-v-irkutske-informacionnij-otchet-o-deyatelnosti-municipalnogo-uchrezhdeniya-kulturi.html
311kachestvo-sirevogo-materiala-ukazaniya-i-rukovodyashie-principi-po-kategoriyam-istochnikov.html
312-dopolnitelnaya-literatura-rabochaya-programma-po-discipline-biologiya-s-ekologiej-dlya-specialnosti-060113.html
312-geologo-gidrogeologicheskie-i-inzhenerno-geologicheskie-usloviya-relef.html
312-kalendarnij-grafik-oformleniya-dokumentovvipolneniya-oformleniya-i-zashiti-diplomnoj.html
  • esse.bystrickaya.ru/programma-seminara-bibliografov-detskih-bibliotek-rossii-bibliografiya-kak-sredstvo-osvoeniya-detmi-sovremennogo-informacionnogo-prostranstva.html
  • testyi.bystrickaya.ru/44-dvernie-konstrukcii-antiterroristicheskoj-komissii.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/akustika-muzikalnih-instrumentov-i-chelovecheskogo-golosovogo-apparata.html
  • school.bystrickaya.ru/avstraliya-kak-perspektivnij-region-razvitiya-mezhdunarodnogo-turizma.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/v-n-tokalin-logicheskij-tehnolog-sistemshik-polnopravdivij-pravozashitnik-istinno-pervij-dissident.html
  • notebook.bystrickaya.ru/knigi-misli-i-serdce-stranica-9.html
  • exam.bystrickaya.ru/zapadnaya-sibir-kak-ptk.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/sistema-cennostej-sovremennogo-studenta.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/proektuvannya-budvnictva-dvopoverhovogo-6-kvartirnogo-zhitlovogo-budinku.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/metodika-muzikalnogo-vospitaniya-uchebno-metodicheskij-kompleks-dlya-studentov-ochnogo-otdeleniya-obuchayushihsya-po-specialnosti.html
  • uchit.bystrickaya.ru/tema-osnovi-inzhiniringa-bankovskih-produktov-lekciya-uchebno-metodicheskij-kompleks-uchebnoj-disciplini-upravlenie.html
  • thescience.bystrickaya.ru/instrument-i-oborudovanie-nastoyashaya-instrukciya-ustanavlivaet-osnovnie-polozheniya-i-poryadok-dejstvij-rabotnikov.html
  • reading.bystrickaya.ru/lesson-7-meals-and-cooking-uchebnik-vklyuchaet-tekstovij-material-i-kompleksnuyu-sistemu-uprazhnenij-dlya-otrabotki.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-po-obzh-8-a-klass.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/ksbi-aza-tl-pnnen-1-mezhelk-bailau-sratari.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/razdel-iv-proekt-gosudarstvennogo-kontrakta-rossijskoj-federacii-utverzhdayu.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/zolotoe-pravilo-povedeniya-v-istorii-chelovecheskoj-misli-5-voprosi-morali-v-istorii-filosofii.html
  • universitet.bystrickaya.ru/trebovaniya-k-sostavu-i-soderzhaniyu-rabot-po-podgotovke-obekta-avtomatizacii-k-vvodu-sistemi-v-dejstvie.html
  • klass.bystrickaya.ru/akustika-studij-chast-3.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/razrabotka-ekstremalnih-turistskih-marshrutov-na-rossijskom-severe-po-regionam-rossijskoj-federacii-na-primere-yamalo-neneckogo-avtonomnogo-okruga-chast-21.html
  • predmet.bystrickaya.ru/sabati-masati-tasa-salinan-suretter-arili-ezhelg-adamdardi-dni-nanim-senmdern-sipattajdi.html
  • college.bystrickaya.ru/1-referat-vibiraetsya-algoritma-iz-spiska-sm-nizhe-nuzhno-najti-informaciyu-ob-istorii-sozdaniya-avtorah-kod-realizacii.html
  • esse.bystrickaya.ru/rasporyadok-raboti-konferencii.html
  • report.bystrickaya.ru/kirovskim-kommunistam-razreshili-piket-na-chas-radio-rsn-novosti-11-07-2008-shestakova-anna-18-00-11.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/razdel-chisla-i-velichini-osnovnaya-obrazovatelnaya-programma-municipalnogo-obsheobrazovatelnogo-uchrezhdeniya-srednej.html
  • esse.bystrickaya.ru/razdel-v-poluchenie-patenta-statya-pravovaya-ohrana-izobreteniya-poleznoj-modeli-promishlennogo-obrazca.html
  • student.bystrickaya.ru/12-vrachebno-pedagogicheskie-nablyudeniya-uchebnoe-posobie-omsk-2009-recenzenti.html
  • assessments.bystrickaya.ru/desislava-georgieva-tema-stroitelstvo-stroitelen-kontrol.html
  • crib.bystrickaya.ru/h-h-kuzmina-garp-yazui-paleografiyase-m-kalligrafiyase-stranica-4.html
  • thesis.bystrickaya.ru/prikaz-9811-ot-4-sentyabrya-2008-goda-programma-razvitiya-municipalnogo-obsheobrazovatelnogo-uchrezhdeniya-gimnaziya-14-g-joshkar-oli-na-period-s-2008-2009-po-2012-2013-uchebnie-godi-stranica-4.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/analogii-v-kurse-fiziki-srednej-shkoli-chast-5.html
  • tasks.bystrickaya.ru/2-osnovnie-funkcii-yazika-aleksandr-ivin.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/lekciya-ego-bozhestvennoj-milosti-a-ch-bhaktivedanti-svami-prabhupadi-prochitannaya-6-oktyabrya-1969-goda-v-konvej-holle-london-angliya-stranica-4.html
  • student.bystrickaya.ru/10115poryadok-ucheta-v-reestre-drobnih-akcij-pravila-vedeniya-reestra-vladelcev-imennih-cennih-bumag-vstupayut.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-1-drevnij-egipet-istoriya-gosudarstva-i-prava-zarubezhnih-stran.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.